Ранг матрицы

Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы.

Определение 12.1. Минором порядка к матрицы A типа m×n называют определитель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Если выбранные строки имеют номера i1, i2, ... , ik, а столбцы — j1, j2, ..., jk, то соответствующий минор будем обозначать Мj1, j2, ..., jki1, i2, ... , ik.

О миноре Мj1, j2, ..., jki1, i2, ... , ik говорят, что:

- строки i₁, i₂, ..., i_k и столбцы j₁, j₂, ... , j_k матрицы входят в него;

- он образован этими строками и столбцами;

- он располагается на пересечении этих строк и столбцов;

- он располагается в этих строках и столбцах матрицы.

Строки, входящие в минор, попарно различны, и в обозначении минора естественно упорядочить их по возрастанию номеров. Это же относится и к столбцам. Правило возрастания номеров означает, что, например, М^3,5,6_1,3,4 является минором некоторой матрицы, расположенным на пересечении 1-й, 3-й и 4-й строк с 3-м, 5-м и 6-м столбцами, в то время как M^3,5,6_1,3,4 минором не является, потому что нарушен порядок столбцов (5-й столбец указан в верхних индексах перед 3-м). Это просто определитель третьего порядка, который получается из минора М^3,5,6_1,3,4 матрицы при перестановке в нем первых двух столбцов. Поэтому, согласно свойствам определителей, М^3,5,6_1,3,4 = -M^3,5,6_1,3,4.

Итак, мы следуем соглашению, что обозначение М^{j1,j2. ...jk}_{i1,i2. ...ik} соответствует минору матрицы, если верхние и нижние индексы в нем строго возрастают. В противном случае, если индексы расположены в ином порядке, это обозначение соответствует определителю, который получается из соответствующего минора перестановкой строк и столбцов.

Пример 12.1 У квадратной матрицы третьегь порядка девять миноров первого порядка, девять миноров второго порядка и один минор третьего порядка.

Определение 12.2. Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров.

Для ранга матрицы A используют обозначение Rg A.

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то ее ранг равен ее порядку n: ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы. В частности, ранг единичной матрицы E порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то ее ранг меньше ее порядка: единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок. Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее.

Свойство 12.1. Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все ее миноры больших порядков равны нулю.

Теорема 12.1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, т.е. Rg A^T = Rg A.

Если мы покажем, что при транспонировании матрицы A ее ранг r не убывает, т.е. Rg A^T ≥ r, то сможем прийти к следующему заключению. Поскольку (A^T)^T = A, то r = Rg A ≤ Rg A^T ≤ Rg(A^T)^T = Rg A = r, и поэтому Rg A^T = r.

Итак, докажем, что Rg A^T ≥ r. Согласно определению 12.2 ранга матрицы, существует ее минор порядка r, отличный от нуля. Пусть это будет минор M = ^{j1,j2. ...jk}_{i1,i2. ...ik}. При транспонировании строки и столбцы меняются местами. Поэтому минору M, образованному строками i₁, i₂, ... , i_r и столбцами j₁, j₂, ... , j_r матрицы A, соответствует минор N = N_{j1,j2. ...jk}^{i1,i2. ...ik} матрицы A^T, образованный строками j₁, j₂, ... , j_r и столбцами i₁, i₂, ... , i_r. Ясно, что эти миноры получаются один из другого операцией транспонирования. Согласно свойствам определителей, они равны. Таким образом, найден минор r-го порядка в матрице A^T, а именно минор N, который не равен нулю. Следовательно, Rg A^T ≥ r. ►

Теорема 12.2. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов. #

• Линейная зависимость строк и столбцов

  Строки и столбцы матриц можно рассматривать как матрицы-строки и, соответственно, матрицы-столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять линейные операции.Подробнее

• Теорема о базисном миноре

  Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.Подробнее

• Вычисление ранга матрицы

  Для вычисления ранга матрицы применяют два метода: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований.Подробнее