Декартова система координат. прямая на плоскости

Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Радиус-вектор точки, координаты точки; связь координат вектора с координатами его начала и конца. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении. Геометрический смысл уравнения f (x, y) = 0 на плоскости и F(x, y,z) = 0 в пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой "в отрезках". Нормальный и направляющий векторы прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

В основе аналитической геометрии лежит возможность однозначного описания точек при помощи наборов чисел, называемых координатами. Описание множества с помощью соотношений между координатами входящих в него точек позволяет привлечь для его исследования алгебраические методы, что значительно расширяет возможности анализа. Наоборот, уравнения, неравенства и их системы можно интерпретировать как зависимости между координатами точек и ассоциировать с ними множество, составленное из точек, координаты которых удовлетворяют этим зависимостям, и, следовательно, получить наглядное представление чисто алгебраической задачи (например, в случае поиска решений уравнений и их систем). Таким образом, возникает своеобразный мостик, связывающий алгебру и геометрию. Его роль выполняет система координат.

• Декартова система координат

  Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая геометрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Мы дадим определение прямоугольной системы координат, используя векторную алгебру.Подробнее

• Преобразование прямоугольных координат

  Все прямоугольные системы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е. выбор одной из них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования координат точки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе.Подробнее

• Простейшие задачи аналитической геометрии

  Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, связанные со взаимным расположением точек на плоскости или в пространстве.Подробнее

• Вычисление площадей и объемов

  Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.Подробнее

• Кривые и поверхности

  Множество точек на плоскости или в пространстве можно описать системой уравнений и (или) неравенств, связывающих координаты точек из этого множества. И одна из важнейших задач аналитической геометрии — построение уравнения или системы уравнений и неравенств, описывающих заданное множество.Подробнее

• Алгебраические кривые первого порядка

  Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в некоторой прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля . Это уравнение называют также линейным уравнением.Подробнее

• Специальные виды уравнения прямой

  Кроме общего уравнения прямой на плоскости часто используют и другие уравнения прямой. Это связано с тем, что, в зависимости от геометрического описания прямой на плоскости, ее уравнение может быть получено в некотором специальном виде. Кроме того, каждому виду уравнения соответствует свой геометрический смысл его коэффициентов, что также важно. Фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат Oxy.Подробнее

• Взаимное расположение двух прямых

  Фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекаться. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными. Какая из этих возможностей реализуется для прямых L1 и L2, всегда можно выяснить с помощью их общих уравненийПодробнее

• Расстояние от точки до прямой

  Для вычисления расстояния от данной точки M до прямой L можно использовать разные способы. Например, если на прямой L взять произвольную точку M0, то можно определить ортогональную проекцию вектора M0M на направление нормального вектора прямой. Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние.Подробнее