Гипербола, приведенная к асимптотам

Если у гиперболы совпадают действительная и мнимая полуоси, т.е. a = b, то угол между асимптотами равен 2arctg(b/a) = 2arctg1 = π/2, т.е. является прямым. Такую гиперболу называют равнобочной. Для нее кроме канонической системы координат, в которой оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, рассматривают также и другую, осями которой являются асимптоты. Выведем уравнение гиперболы в этой системе координат, которую обозначим Oxy. Пусть i, j — ее репер, а i', j' — репер канонической системы координат Ox'y' (рис. 8.1).

Каноническая система координат повернута относительно системы Oxy на угол π/4. Поэтому (см. 4.2) i' = √2/2i + √2/2j, j' = —√2/2i +√2/2j .Значит, координаты x', у' канонической системы координат выражаются через координаты x,у с теми же коэффициентами: x' = √2/2x + √2/2у, y' = -√2/2x + √2/2у

Уравнение равнобочной гиперболы в канонической системе координат имеет вид (x')² — (у')² = a², где a — действительная (она же мнимая) полуось гиперболы. Заменив в этом уравнении канонические переменные на x, у, получим 1/2(x + у)² — 1/2(x — у)² = a², или

xy = a²/2 (8.1)

Уравнение (8.1) называют уравнением гиперболы в асимптотах.

Замечание 8.1. Уравнение xy = —a²/2 задает сопряженную гиперболу для равнобочной гиперболы (8.1).

Пример 8.1. Найдем координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот гиперболы xy = — 8 и построим ее.

Данное уравнение является уравнением в асимптотах для сопряженной равнобочной гиперболы. Поэтому оси координат, т.е. прямые x = 0, у = 0, являются ее асимптотами. Для этой гиперболы —a²/2 = —8, поэтому a² = 16 и a = b = 4. Но тогда c = √(a² + b²) = √(4² + 4²) = 4√2, и, учитывая обозначения вершин и фокусов, находим: A(—2√2; 2√2), B(2√2; — 2√2), F₁(—4; 4), F₂(4; —4) (рис. 8.2).